Chaotyczne mapy 1D

Original: http://www.ibiblio.org/e-notes/Chaos/saw.htm


Zaskakująco prosta 1D mapy plon dobry model chaotycznych systemów.
Mapa piła i zmiany Bernoulliego
Sawtooth
Ząb piły Piła mapa określa się jako
   xn+1 = 2xn (mod 1)
gdzie x (mod 1) jest część ułamkową x. W systemie dwójkowym odpowiada mnożenie przez 2 lewy shift przez jeden bit witryny i biorąc część ułamkową odpowiada górnej nieco obcinania. W związku z tym xn+1 jest przesunięcie Bernoulliego xn

xo = 0.01011 …
x1 = 0.1011 …
x2 = 0.011 …

i tak dalej… Sekwencji (xo , x1 …)  nazywa się orbity w punkcie xo.
Symboliczne dynamiki i chaos
Jeśli cyfra n-th po binarne punkt xo jest 0 (1) następnie xn leży w lewo (po prawej) pół przedziale [0,1]. Mapy dowolnej orbicie jest określona w ten sposób jednoznacznie przez jego (so , s1 …) symbolicznych sekwencji σ wizyt tych interwałów. Losowych sekwencji symboliczne punkty odpowiadające im orbity odwiedzi losowo lewo lub w prawo, pół interwał. Istnienie kontinuum kompleks Orbit jest znak chaosu.
Sawtooth Sawtooth

Ciągłe noninvertible namiot mapy (na lewo) dla każdego xn można zawsze znaleźć poprzedzających, xn-1 wartość leży w lewo lub w prawo pół interwał. Tak więc w tym przypadku zbyt to możliwe do orbity do dowolnej sekwencji symboliczne odwrotnej iteracji mapy. W ogólnym przypadku nie wszystkie sekwencje symboliczne dozwolone. Np. 11 podsekwencja jest przestarzałe w ustalenie mapy w prawo.
Niestabilne orbity i wykładnik Lapunowa
Jeśli xo i yo mają równe pierwszych cyfr binarnych następnie na mapie piłokształtna podczas n < k
yn – xn =2n (yo – xo) = (yo – xo) en log 2.
gdzie Λ=log 2 jest wykładnik Lapunowa mapy. Tak więc odległość między dwoma blisko orbity odbiega gwałtownie wraz ze wzrostem n. Po iteracji k staje się około 1. Ta właściwość jest nazywany czułość do warunków początkowych. Oznacza to, że wszystkie okresowe orbity niestabilne zbyt.
Niestabilne okresowe orbity
Dla sawtooth mapę, to wiadomo, że orbity z racjonalnego xo = p/q jest okresowe na orbicie nieparzysty p. np. 1/3 okresu 2
 1/3 → 2/3 → 1/3 …
i 1/7 Orbita ma okres 3
    1/7 → 2/7 → 4/7 → 1/7 …
Dla nawet q ten stał orbitę okresową ostatecznie, np.
 1/6 → 1/3 → 2/3 → 1/3 …   or   1/8 → 1/4 → 1/2 → 1 → 1 …
W związku z tym istnieje nieskończony zbiór (policzalne) niestabilna okresowe Orbit i te orbity bardzo ładne i w [0,1].
Na rys.4 pokazano drugiej iteracji mapy i dwa punkty orbicie okres-2. Okres-2 Orbita jest obtaned z symbolicznych sekwencji σ = (01) (patrz dodatek)

x0 = 0.0101… = 0.(01) = 1 / 112 = 1/3,
x1 = 0.1010… = 0.(10) = 102 / 112 = 2/3

Dwa więcej kombinacji x2 = 0.(00) = 0 i x3 = 0.(11) = 1 stałe punkty mapy. dwie orbity okres-3

x0 = 0.001001… = 0.(001) = 12 / 1112 = 1/7,
x1 = 0.(010) = 2/7,     x2 = 0.(100) = 4/7

i x 3 = 0.(110) = 6/7, x 4 = 0.(101) = 5/7, x 5 = 0.(011) = 3/7.
Rozciąganie i składane
Może weźmiemy pod uwagę piłokształtna mapy stanowią dwa kroki: (1 jednolite rozciągania przedziale [0,1] dwa razy jego pierwotnej długości i (2 lewy shift jego prawej połowy w pierwotnej pozycji. Wyciąganie Właściwość prowadzi do separacji gwałtowny pobliskich punktów i co za tym idzie, wrażliwe zależnością od warunków początkowych. Właściwość zmiany trzyma wygenerowana sekwencja ograniczone, ale również powoduje, że mapa ma być noninvertible, gdyż powoduje to dwa różne xn punkty mają być mapowane do jednego xn+1 punkt.
Cieniowanie
Gwałtowny wzrost błędy Iterowanie chaotyczny układ dynamiczny oznacza, że trajektorii wygenerowane komputerowo jakiś wstępny warunek będzie szybko odbiega od prawdziwego orbity z powodu błędów zaokrąglenie, tak, że po stosunkowo krótkim czasie orbicie wygenerowane komputerowo (tzw. pseudo-trajektorii) będzie miał Brak korelacji z prawdziwego orbity.
Jednak dla danej xn pseudo-trajektorii możemy sobie wyobrazić przechodzenie do tyłu aby znaleźć preimage niniejszego punktu. Ponieważ mapa jest kontraktacji w ramach odwrotny iteracji, błąd rozpada do tyłu orbity i trajectorry pozostaje blisko do tyłu iteracji prawda trajektorii. Istnienie prawdziwego trajektorii, który pozostaje blisko pseudo-toru nazywa się cieniowanie.
Niezmienne gęstości
W eksperymentach fizycznych i komputer możemy ustawić początkowe warunki tylko w przybliżeniu. Ale każdy skończony precyzja danych początkowych chaotycznej dynamiki jest przewidywalne do skończonej liczby kroków! Dla takich “trudnych” ruchy statystyczny opis może być wykorzystanie ponad rzeczywistej wiedzy prawdziwego Orbit. W związku z tym mamy do śledzenia zmian gęstości reprezentatywnych punktów.
Sawtooth mapy po każdej iteracji odległość między blisko punktów zwiększa dwa razy, więc gładkie gęstości rozprzestrzenia się równomiernie dwa razy zbyt. A ponieważ wszystkie punkty leżał w ograniczonym przedziale [0,1], dlatego mamy w granicy n równomierny rozkład punktów. Ten gęstość pozostaje bez zmian przez sawtooth mapę (nazywany jest nieruchomy i niezmienny gęstości). Uwaga Aby punkty niestabilne orbity okresowe pojedynczej gęstości niezmienne.
Hipoteza ergodyczna
Jeśli wziąć losowa xo = 0.a1a2a3, a następnie dla każdej s = 0.b1b2b3…bk zawsze znajdziemy gdzieś w xo pokrywania podsekwencja, czyli xn trafi blisko s i prawdopodobieństwo tego “przejście” nie zależy od s. W ten sposób każdy przypadek orbicie pójdzie dowolnego blisko dowolny punkt w [0,1] i jednolite pokrycie ten interwał (śmieszne dowód na podstawie tajemnicze właściwości losowości :)
Można użyć tego zastąpić średni “czas” <A>“zespół” średnia (Hipoteza ergodyczna)
<A> = ∑n A(xn) = ∫ A(x) dx.
W ogólnym przypadku na mapie chaotyczne
<A> = ∑n A(xn) = ∫ A(x) dμ = ∫ A(x) ρ(x) dx ,
gdzie μ jest niezmiennicza miara i ρ(x) jest niezmienne gęstości na mapie.
Mapa zdegenerowany koło
Mapa zdegenerowany koło
    xn = xn-1+Δ (mod 1) = xo+ nΔ (mod 1)
“otacza” regularnie xn punktów całym przedziale [0,1] (jeśli jeden łączy punkty 0 i 1 do okręgu). Do racjonalnego Δ = p/q wszystkie orbity okresowe z okresu q. Na irracjonalne Δ każdej orbicie obejmuje przedziale [0,1] równomiernie i dowodowych, dlatego jeden wprowadzenie stałej gęstości niezmienne ponownie (do obliczania średnich).
Należy jednak pamiętać że wszystkie punkty okręgu [0,1] wypierane przez mapę na samą odległość Δ. Dlatego odległość między dwie orbity jest stała i gęstość dowolny zespół punktów zachowuje swój kształt. Mamy jednolitej gęstości niezmienne, nie mieszając!
Rozpad korelacji
Funkcja średnia korelacji C(m) xk sekwencji jest
    C(m) = limn→∞ 1/n ∑k=1,n (xk – <x>)(xk+m – <x>) ,     <x> = limn→∞ 1/n ∑k xk .
Jeśli miara niezmiennicza na mapie miasta jest znany, wtedy
C(m) = limn→∞ ∑k 1/n (xk <x>)(f om(xk)-<x>) = rogu ∫ (x <x>)(f om(x)-<x>)
Np. na mapie zdegenerowany koło mamy
    C(m) = 1/12 – δ(1 – δ) / 2 ,
gdzie  δ = mΔ (mod 1). Ta funkcja korelacji oscyluje wraz ze wzrostem m.
Mapa Piła korelacji jest
    C(m) = 2-m / 12 .
W ten sposób mieszania prowadzi do wykładniczy zanikający korelacji dla dużych m.
Dodatek: Kod binarny konwersji do racjonalnego frakcji
Za ułamek dziesiętny na początku
    0.(3) = 0.333… = 3 (10 -1 + 10 -2 + 10 -3 + …) = 3/[10(1 – 1/10)] = 3/9 = 1/3
(wzoru na sumę szeregu geometrycznym jest używany). W sposób podobny do kodu binarnego 0.(101) = 1012 / 1112 = 5/7 (dolny 2 punkty w systemie dwójkowym).