Projet de train gravité


Original: http://www.math.purdue.edu/~eremenko/train.html

 
Laissez-nous creusons un tunnel droit de West Lafayette, IN à Paris, France:

 

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Comme vous le voyez sur la photo, le tunnel descend de West Lafayette au milieu, puis à Paris. Bien sûr `down ‘signifie’ plus près du centre de la Terre ‘, et` up’ a un sens similaire, parce que la force de gravité est dirigé directement vers le centre.

Maintenant posons un chemin de fer * dans le tunnel. Dès que les freins d’une voiture de chemin de fer à West Lafayette sont libérés, la voiture rouler sous la force de gravité. Il permettra d’accélérer, puis atteindre sa vitesse maximale au milieu (= point le plus bas) du tunnel, puis ralentir, passant par inertie. Si nous négligeons la perte d’énergie pour le frottement, la loi sur la conservation de l’énergie impliquera que la voiture va arriver à Paris juste au même moment où sa vitesse devient 0. A ce moment, les freins doivent être appliqués, de donner aux passagers le temps de quitter la voiture, et de prendre de nouveaux passagers, va dans la direction opposée.

Pour l’ensemble de Voyage nous n’avons pas passé une seule goutte de carburant. Toutes les mesures doivent être prises de cours pour réduire la friction autant que possible. Je recommande, par exemple pour pomper l’air hors du tunnel. Pour compenser la friction restant entre le rail et les roues, vous pouvez utiliser un très petit moteur.

Ainsi, la consommation de carburant devrait être beaucoup plus élevé que celui des compagnies aériennes, ou encore que des navires. Donc, la question cruciale (crucial pour la concurrence avec les compagnies aériennes) est combien de temps cela prendra Voyage. C’est la question que je me propose de vous pour enquêter. Aussi s’il vous plaît calculer le temps de Voyage de West Lafayette à Goshen, IN, par un tunnel distinct, bien sûr. (Nous pouvons essayer de rivaliser avec Greyhound trop, non seulement avec les compagnies aériennes). Dans votre calcul suppose que la densité de la Terre est constante ** partout à l’intérieur. Des informations pertinentes sur la gravité est dans la section suivante.

* Vous pouvez vous demander, pourquoi pas une autoroute. Parce que le chemin de fer a beaucoup plus faible friction, de sorte qu’il est beaucoup plus éconergétiques que sur une route.

** Il est peu probable. Mais cette hypothèse simplifie le problème, et sans doute est assez bon pour une approximation grossière.

Informations sur la gravité

Vous pouvez trouver les deux théorèmes suivants de Newton utiles.

Théorème 1. La force de gravité en dehors d’une sphère homogène, est le même que si toute sa masse était dans le centre.

Théorème 2. La force de gravité à l’intérieur d’une sphère homogène est égale à zéro. (Voici propre preuve de Newton du théorème 2).

L’utilisation de ces deux théorèmes on peut calculer la force de gravité à tout moment de notre tunnel donné. Regardez l’image. Seule la partie de la terre qui est en dessous de la voiture est pertinente. Et cette partie attire la voiture au centre de la Terre avec la force proportionnelle au volume de cette partie.

 

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Bien sûr, vous pouvez aller à une bibliothèque (ou au www) pour trouver des choses telles que la masse ou la densité de la Terre, la constante de gravitation, la distance entre West Lafayette Paris et en miles ou en degrés, mais je vous conseille de résoudre ce problème en général d’abord, sans spécifier de paramètres, puis voir ce que les constantes physiques vous avez vraiment besoin. Cela présente deux avantages: a) il permettra d’économiser votre temps, et b) il sera applicable à d’autres routes ainsi que sur d’autres planètes. Par ailleurs, le pompage de l’air hors du tunnel peut être la partie la plus coûteuse de l’ensemble du projet. Ainsi, il peut être plus approprié pour la Lune, qui sait.

Si après vos calculs, vous concluez que notre train Gravity n’est pas assez rapide, regarder une version améliorée, Train Gravity brachistochrone, qui est le plus rapide possible de ce genre. Il est beaucoup plus sophistiquée que la nôtre mathématiquement, et un tunnel car il faut creuser davantage.

Solution du problème et d’autres commentaires

Ajouté le 7 Décembre 2013. Vous pouvez voir ce train allant de l’Australie à l’Angleterre dans le film “Total Recall” (2012). Bien sûr, les cinéastes ont tous les détails scientifiques erronées, même le temps d’:-) de Voyage