Premières utilisations de symboles pour les fractions

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Dernière mise à jour: 23 Juillet, 2012

Premières notations pour les fractions. Les Babyloniens ont écrit les numéros dans un système qui était presque un système de valeur de (position), en utilisant la base 60 plutôt que la base 10. Leur système de notation de valeur de fait, il est facile d’écrire des fractions. le numéral

a été trouvé sur une vieille tablette babylonienne de la collection de Yale. Il s’agit d’une approximation de la racine carrée de deux. Les symboles sont 1, 24, 51, ​​et 10 Parce que les Babyloniens utilisaient une base 60, ou sexagésimal, système, ce nombre est de 1 x 600 + 24 x 60-1 + 51 x 60-2 + 10 x 60-3, ou sur 1,414222.

Le système babylonien de numération n’était pas un système de positionnement pur en raison de l’absence d’un symbole pour le zéro. Dans les comprimés âgées, un espace a été placé à l’endroit approprié dans le chiffre; dans certains comprimés plus tard, un symbole pour zéro n’apparaît mais dans les comprimés qui ont été découverts, ce symbole utilisé entre autres symboles et jamais en position terminale.

Les premières fractions égyptiens et grecs sont habituellement des fractions unitaires (ayant un numérateur de 1), de sorte que la fraction a été montré simplement en écrivant un numéro avec une marque au-dessus ou à droite indique que le chiffre est le dénominateur d’une fraction.

Rome Antique. Les Romains ne pas utiliser des chiffres pour indiquer les fractions, mais ont utilisé des mots pour indiquer des parties d’un tout. Une unité de poids était la au fur et à l’uncia (à partir de laquelle nous avons le mot “once”) était la douzième partie de la comme. Les mots suivants ont été utilisés pour désigner des parties de la comme ou, plus généralement, des parties de n’importe quelle quantité:

11/12

deunx pour de uncia, douzième enlevé
10/12 dextans pour De Sextans, sixième enlevés
9/12 dodrans pour De quadrans, quart enlevés
8/12 bes BI pour partes duae, 2/3
7/12 septunx pour unciae septem
6/12 demi-finales
5/12 quinconce pour quinque unciae
4/12 triens
3/12 quadrans
2/12 Sextans
1/12 uncia
1/24 semuncia
1/48 sicilicus
1/72 scriptulum
1/144 scripulum
1/288 scrupulum

Multiples de l’été comme indiqué en utilisant le schéma suivant, dans lequel un denier représente 16 ânes. Deniers semuncia sicilicus représenté 1/24 1/48 + d’un denier ou 1/16 denier, ou 1 comme. Deniers uncia semuncia représenté 1/12 1/24 + d’un denier ou huitième denier, ou 2 ânes. Sextans deniers sicilicus représentés sixième + 1/48 d’un denier, ou 3/16 denier, ou 3 ânes. Deniers deunx sicilicus représenté 11/12 + 1/48 d’un denier, ou 15/16 denier, ou 15 ânes [Smith vol. 2, pages 208-209].

Fractions ordinaires sans la barre horizontale. Selon Smith (vol. 2, page 215), il est probable que notre méthode d’écriture des fractions communes est due essentiellement à des Hindous, même s’ils n’ont pas utilisé le bar. Brahmagupta (c. 628) et Bhaskara (c. 1150) a écrit fractions comme nous le faisons aujourd’hui, mais sans la barre.

La barre de fraction horizontale a été introduit par les Arabes. “The Arabs at first copied the Hindu notation, but later improved on it by inserting a horizontal bar between the two numbers”  (“Les Arabes d’abord copié la notation hindoue, mais plus tard amélioré sur elle en insérant une barre horizontale entre les deux nombres») (Burton).

Plusieurs sources attribuent la barre de fraction horizontale à al-Hassar vers 1200.

Quand Rabbi ben Ezra (c. 1140) a adopté les formes mauresques il généralement omis la barre.

Fibonacci (c.1175-1250) a été le premier mathématicien européen à utiliser la barre de fraction tel qu’il est utilisé aujourd’hui. Il a suivi la pratique arabe de placer la fraction à la gauche de l’entier (Cajori vol. 1, page 311).

Selon l’ORD, Abou Abdallah ibn Ibrahim ibn Yaish Yusuf ibn al-Simak Umawi (14ème ou 15ème siècle) a insisté pour que la barre de fraction horizontale être utilisé, alors que les Orientaux ont continué à écrire sans la barre.

Le bar se trouve généralement dans les manuscrits latins de la fin du Moyen Age, mais lors de l’impression a été introduit, il a été souvent omis, sans doute en raison de difficultés typographiques. Cette conclusion est confirmée par des livres tels que Kunstliche rechnung (Künstliche la Rechnung) de Rudolff (1526), où la barre est omis dans toutes les fractions ordinaires, mais est inséré dans les fractions imprimés en gros caractères et ceux ayant un grand nombre (Smith vol. 2, page 216).

Michael Closs souligne que si l’on définit une barre de fraction horizontale à une ligne horizontale qui sépare le numérateur du dénominateur et les délimite en tant que tel, alors ce type de notation a été utilisé avec exactement cet effet plus d’un millénaire avant al-Hassar. Demotic Mathematical Papyri (En démotique mathématique Papyrus), (Brown University Press, London, 1972, pages 8-9) Richard A. Parker écrit que dans trois rencontres papyrus dès le IIIe siècle avant JC à l’époque romaine, “the numerator is written first, and the denominator follows on the same line. In problems 2, 3, 10, and 13 (the Cairo papyrus) the numerator is underlined. In problems 51 and 72 the denominator is underlined.” (“le numérateur est inscrit en premier, et le dénominateur suit sur la même ligne. Dans les problèmes 2, 3, 10 et 13 (le papyrus du Caire) le numérateur est souligné. Dans les problèmes 51 et 72, le dénominateur est souligné. “)

Certains auteurs utilisent le vinculum terme pour la barre de fraction horizontale. Ce terme s’appliquait initialement à la marque lorsqu’il est utilisé comme un symbole de groupement. Fibonacci a utilisé le mot virga latine pour la barre de fraction horizontale.

La barre de fraction diagonale (également appelée solidus ou virgule) a été introduite parce que la barre de fraction horizontale était difficile typographique, nécessitant trois terrasses de Type.

Un document manuscrit tôt avec des barres obliques au lieu de barres de fraction est le grand livre de Thomas Twining de 1718, où les quantités de thé et de café transactions sont énumérés, par exemple, 1/4 livre de thé vert. Cette utilisation de la barre de fraction horizontale a été trouvé par Hans Lausch, qui pense qu’il existe occurrences même antérieures.

Lausch a également trouvé la barre de fraction horizontale dans Allgemeine Deutsche Bibliothek (Allgemeine Deutsche Bibliothek), une review journal de Berlin qui a débuté en 1765, une référence précise peut être à venir.

Le premier exemple d’une barre de fraction diagonale montre Cajori (vol. 1, page 313) est en 1784, quand une ligne courbe qui ressemble le signe de l’intégration a été utilisé dans le Gazetas de Mexico (Gazetas de Mexico) par Manuel Antonio Valdes.

En 1843, une ligne courbe a été utilisé par Henri Cambuston dans Definicion de las principales operaciones de arismetica (Defenicion de las principales a Operaciones de arismetica) (Cajori vol. 1, page 313)

En 1845, l’utilisation du solidus a été recommandé par De Morgan dans un article intitulé “The Calculus of Functions” («Le calcul des fonctions»), publié dans l’Encyclopédie Metropolitana de 1845 (Cajori vol. 1, page 313).

En 1852, le solidus a été utilisé par Antonio Serra Y Oliveres à Manuel de la Tipografia Española  (Manuel de la Tipografia Española) (Cajori vol. 1, page 313).

Les fractions décimales. Abu’l Hasan Ahmad ibn Ibrahim Al-Uqlidisi (. C. 920-c 980) a écrit le plus ancien texte connu en offrant un traitement direct des fractions décimales. “Al-Uqlidisi uses decimal fractions as such, appreciates the importance of a decimal sign, and suggests a good one,” (“Al-Uqlidisi utilise les fractions décimales en tant que telle, conscient de l’importance d’un signe décimal, et propose un bon”), selon AS Saidan, “The earliest extant Arabic arithmetic, (“Le premier arithmétique arabe existante,”) Isis 57 (1966), 475-490.

L’idée des fractions décimales avait été présent dans le travail de plusieurs mathématiciens de l’école de al-Karaji, notamment Ibn Yahya al-Maghribi Al-Samawal (c. 1130-c. 1180), selon l’Université de St. Andrews site.

Dans la The Key to Arithmetic (clé de l’arithmétique), Ghiyath al-Din al-Jamshid Mas’ud Kashi (c. 1380-1429) a donné une description claire des fractions décimales, selon P. Luckey, Die Rechnenkunst bei Gamsid b. Masud al-Kasi (Die Rechnenkunst bei Gamsid b. Masud al-Kasi) (1951).

Al-Kashi dans son al-Risali al-mohitije (Treatise on the circumference) (al-Risali al-mohitije (Traité sur la circonférence)) écrit la valeur de pi en utilisant les caractères arabes comme suit:

 sah-hah
              3      1415926535898732

Le mot sah-hah signifiait complète, correcte, partie intégrante. (La forme turque moderne est sahih.) Ainsi, la partie de droite est la virgule, bien qu’il n’y ait pas de point décimal. Selon Smith (vol. 2, page 240), “Manifestly it is, therefore, a clear case of a decimal fraction, and it seems to be earlier than any similar one to be found in Europe.”  (“Manifestement, il est, par conséquent, un cas évident d’une fraction décimale, et il semble être plus tôt que tout autre semblable se trouve en Europe.”)

Yang Hui (c.. 1238-c 1298) était un officiel chinois mineur qui a écrit deux livres, daté de 1261 et 1275, qui utilisent des fractions décimales (dans la forme moderne). Le travail 1275 est appelé Cheng Chu Tong Bian Ben Mo [Université de St. Andrews site web].

Smith (vol. 1, page 255) écrit: “Francesco Pellos or Pellizzati, a native of Nice, published a commercial arithmetic at Turin in 1492 in which, as will be shown in Volume II, use is made of a decimal point to denote the division of a number by a power of ten.” («Francesco Pellos ou Pellizzati, originaire de Nice, a publié une arithmétique commerciale à Turin en 1492, dans lequel, comme on le verra dans le Volume II, il est fait usage d’un point décimal pour désigner la division d’un nombre par une puissance de dix “.) En vol. 2 (page 138) Smith dit Pellos “involontairement fait usage de la virgule pour la première fois dans un ouvrage imprimé» et qu’il “unwittingly made use of the decimal point for the first time in a printed work” («ne reconnaît pas l’importance de la virgule.”) Cajori (vol. 1, page 315) dit Pellos “did not recognize the significance of the decimal point.”  (“utilisé un point et est venu près de l’invention des fractions décimales.”)

En 1530, Christoff Rudolff (1499? -1545?) Ont utilisé une barre verticale exactement comme nous utilisons une virgule aujourd’hui dans la mise en place d’une table de l’intérêt composé dans le Exempel Büchlin (Exempel Büchlin) (Cajori vol. 1, page 316).

Smith (vol. 2, page 240) écrit:

The first man who gave evidence of having fully comprehended the significance of all this preliminary work seems to have been Christoff Rudolff, whose Exempel Büchlin appeared at Augsburg in 1530. In this work he solved an example in compound interest, and used the bar precisely as we should use a decimal point today. If any particular individual were to be named as having the best reason to be called the inventor of decimal fractions, Rudolff would seem to be the man, because he apparently knew how to operate with these forms as well as merely to write them, as various predecessors had done. His work, however, was not appreciated, and apparently was not understood, and it was not until 1585 that a book upon the subject appeared.

(Le premier homme qui a témoigné d’avoir pleinement compris l’importance de tout ce travail préliminaire semble avoir été Christoff Rudolff, dont Exempel Büchlin apparu à Augsbourg en 1530 Dans ce travail, il a résolu un exemple de l’intérêt composé, et utilise la barre précisément nous devrions utiliser un point décimal aujourd’hui. Si une personne en particulier devait être désigné comme ayant la meilleure raison d’être appelé l’inventeur des fractions décimales, Rudolff semble être l’homme, parce qu’il savait apparemment la manière d’utiliser ces formulaires ainsi que se contenter de les écrire, comme divers prédécesseurs l’avaient fait. Son travail, cependant, n’a pas été apprécié, et n’a apparemment pas été entendu, et ce n’est qu’en 1585 qu’un livre sur le sujet paru.)

En 1579, François Viète (1540-1603) a publié un travail qui comprenait une utilisation systématique des fractions décimales, en utilisant un trait vertical comme un séparateur; “from the vertical stroke to the actual comma there is no great change” (“de la course verticale de la virgule réel il n’y a pas grand changement”) (Cajori vol. 1, page 316).

En 1585, Simon Stevin (ou Stevin) (1548-1620) publié La Thiende  (“The Tenth”) (“La dixième”) et La Disme (“The Decimal”) (“La décimale»), qui tous deux expliqué l’utilisation des fractions décimales. Il est crédité de l’introduction de fractions décimales dans l’usage commun, mais il n’a pas utilisé la notation que nous utilisons aujourd’hui. Il a écrit 5.912 comme  ou he did not use a
decimal point; he wrote a 0 over the units digit, a 1 over the tenths
digit, a 2 over the hundredths digit, etc., or he would write a
circled 0 to the right of the units digit, a circled 1 to the right
of the tenths digit, etc..

Boyer écrit (à la page 340):

The use of a decimal point separatrix generally is attributed either to G. A. Magini (1555-1617), a map-making friend of Kepler and rival of Galileo for a chair at Bologna, in his De planis triangulis of 1592, or to Christoph Clavius (1537-1612), a Jesuit friend of Kepler, in a table of sines of 1593. But the decimal point did not become popular until Napier used it more than twenty years later.

(L’utilisation d’un point décimal séparatrice est généralement attribuée à des GA Magini (1555-1617), un ami carte de décision de Kepler et de Galilée rival pour une chaise à Bologne, dans son De PLANIS Triangulis de 1592, ou à Christoph Clavius ​​(1537-1612), un jésuite ami de Kepler, dans une table de sinus de 1593 Mais la virgule ne sont pas devenus populaires jusqu’à Napier a utilisé plus de vingt ans plus tard.)

Jobst Bürgi (1552-1632) “was not clear as to the best method of representing these fractions, however, and in his manuscript of 1592 he used both a period and a comma for the decimal point” ( “n’était pas clair quant à la meilleure méthode de représentation de ces fractions, cependant, et dans son manuscrit de 1592, il sert à la fois une période et une virgule comme séparateur décimal”) (Smith vol. 2, page 243 -244). Il a également utilisé à la place d’un petit cercle placé au-dessus ou au-dessous du chiffre des unités (Smith vol. 2, page 244 et Cajori (vol. 1, page 317).

En 1593, Christopher Clavius ​​(1537-1612) ont utilisé une période de séparer les unités et dixièmes chiffres dans un tableau de sinus dans Astrolabe. Cependant, il a utilisé la période pour d’autres raisons dans ses œuvres, et son but en utilisant la période dans ce cas n’est pas clair (Cajori vol. 1, page 322). Carl Boyer dit Clavius ​​était la première personne à utiliser la virgule avec une idée claire de sa signification.

William Oughtred (1574-1660) n’a pas utilisé un point décimal, mais écrit que 0,56 0/56, avec le 56 souligné.

Le point comme séparateur se produit en 1616 dans la traduction de Descriptio de John Napier E. Wright. Boyer se réfère à ce que la première apparition d’une virgule séparant la partie entière de la partie décimale, dans la notation que nous utilisons aujourd’hui. Cependant Cajori (vol. 1, page 323) dit: “no evidence has been advanced, thus far, to show that the sign was intended as a separator of units and tenths, and not as a more general separator as in Pitiscus.” («aucune preuve n’a été avancé, à ce jour, pour montrer que le signe a été conçu comme un séparateur d’unités et dixièmes, et non pas comme un séparateur plus générale dans Pitiscus.”) Selon Scott (p. 128), “Wright’s translation of his treatise on logarithms, which was published in 1616 shows the decimal point on the first page.” («La traduction de son traité sur les logarithmes, qui a été publié en 1616 de Wright montre le point sur la première page de décimale.”)

En 1617, dans son Rabdologia latine, Napier utilisé à la fois la virgule et le point comme séparateur des unités et dixièmes. Avant 1617, il a utilisé la période de sa Constructio, qui ne fut publié qu’en 1619 (Cajori vol. 1, page 324).

Le symbole de pour cent est soupçonné d’avoir évolué à partir d’un symbole introduit dans un manuscrit italien anonyme d’environ 1425, selon DE Smith dans Rara arithmetica en 1898.